SISTEMA POLAR

Un sistema rectangular se compone por ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en el plano, un sistema polar cuenta con círculos concéntricos que representa la magnitud y radios homogéneos que representan el ángulo de inclinación.

Para calcular un punto en coordenadas polares se utiliza la siguiente ecuación:

r=√x²+y²

§=tg^-1 y

           x

Para convertir una coordenada rectangular en polar se utiliza las siguientes ecuaciones:

Para graficar una ecuación se debe tener una variable independiente, en el sistema polar la variable dependiente es generalmente el ángulo, los principales lugares  geométricos (casos especiales) son: caracoles , rosas, lemins catas y espirales.

Ejemplo: 

Grafique e indique el nombre de la siguiente ecuación:

§	r
0°	10
30°	9.3
60°	7.5
90°	5
120°	2.5
150°	0.66
180°	0
210°	0.66
240°	2.5
270°	5
300°	7.5
330°	9.3
360°	10

HIPERBOLA

La hipérbola es una cónica formada por un corte vertical a dos conos concéntricos encontrados entre sí, donde se representa mediante una ecuación de segundo grado donde las variables cuadráticas son de signos diferentes.

Para identificar sus elementos es indispensable identificar las variables:                         

a = distancia entre centro - vértice.

b = distancia entre centro - eje transverso.

c = distancia entre centro - foco.

La excentricidad es mayor o igual a 1 y sus elementos se calculan de las siguientes expresiones:

Cuando una hipérbola no se encuentra en el origen sus elementos se representan en función del centro como muestra los siguientes esquemas:

Una hipérbola tiene centro en el punto (2,4), vértice en el punto (2,8) y foco en el punto (2, -1).

Indique sus elemento de manera gráfica y representa su ecuación general. 

   

                                             

ELIPSE

Una elipse es un lugar geométrico que se forma a partir de un corte diagonal o un cono.

Su ecuación se define como una ecuación cuadrática donde la variable dependiente e independiente son de segundo grado, de diferente coeficiente y de signo positivo.

Las siguientes ecuaciones representan en forma gráfica lugares geométricos.

x²+y²=4

X	Y
-3	Ind
-2	0
-1	1.7320
0	2
1	1.7320
2	0
3	Ind

ELIPSE(Con Centro en el Origen)

Una Elipse se define como una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un cono en forma análoga a la parábola, es una cónica formada por dos parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta.

Sus elementos importantes son:

    a)     Vértice                                           e)    Eje Menor(Ancho de la parábola)

    b)    Foco                                                 f)     Directriz  

    c)     Lado Recto                                       g)     Excentricidad

    d)    Eje Mayor(distancia entre vértices)

Para Calcular los Elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen se deben identificar los valores de la distancia focal, la distancia del foco al centro y la distancia al eje menor (A, B, C).

Las Ecuaciones matemáticas utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema:

        x² + y²  = 1

a²     b²

c=√a²-b²                                  LR=2 b² /a                      

a=√c²-b²

b=√a²-c²

Eje Mayor= 2a                Eje Menor=2b

Excentricidad=c/a

a= distancia centro-vértice

b= distancia centro-Eje Menor

c= distancia centro-Foco

  

^EJEMPLO:

 x² + y²  = 1         Ec. Canónica                  

 25    16                                 

a²=25           a=5          c=√25-16 = √9

b²=16           b=4           c= 3

a-c=directriz                                                    

5-3=2

E. Menor=2b=2(4)=8         

E.Mayor=2a=2(5)=10                                                                    

LR=2b²=2(16)=32=6.4

        a       5      5

e=c/a

e=3/5=0.6                                          

16x²+25y²-400=0  Ec. Gral.

ELIPSE (Con Centro Fuera del Origen)

(x-h)² + (y-k)²

    a²          b²                                                            

(x-h)² + (y-k)²

    b²          a²